一个简单的数学小魔术

魔术小煜

在一张纸上并排画 11 个小方格。叫你的好朋友背对着你（确保你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个 1 到 10 之间的数。从第三个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第 10 个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是 7 和 3 ，那么前 10 个方格里的数应该是

7

3

10

13

23

36

59

95

154

249

现在，叫你的朋友报出第 10 个方格里的数，你只需要在计算器上按几个键，便能说出第 11 个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现，把第 11 个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！这就奇怪了，在不知道头两个数是多少的情况下，只知道第 10 个数的大小，不知道第 9 个数的大小，怎么能猜对第 11 个数的值呢？

魔术揭秘：只需要除以 0.618

其实，仅凭借第 10 个数来推测第 11 个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第 10 个数除以 0.618，得到的结果四舍五入一下就是第 11 个数了。在上面的例子中，由于 249÷0.618 = 402.913.. ≈ 403，因此你可以胸有成竹地断定，第 11 个数就是 403。而事实上，154 与 249 相加真的就等于 403。把头两个方格里的数换一换，结论依然成立：

2

9

11

20

31

52

82

133

215

348

可以看到，第 11 个数应该为 215+348 = 563，而 348 除以 0.618 就等于 563.107..，与实际结果惊人地吻合。这究竟是怎么回事儿呢？

魔术原理：溶液调配的启示

不妨假设你的好朋友最初在纸上写下的两个数分别是 a 和 b 。那么，这 11 个方格里的数分别为：

a

b

a+b

a+2b

2a+3b

3a+5b

5a+8b

8a+13b

13a+21b

21a+34b

34a+55b

接下来，我们只需要说明，21a+34b 除以 34a+55b 的结果非常接近 0.618 即可。

让我们来考虑另一个看似与此无关的生活小常识：两杯浓度不同的盐水混合在一起，调配出来的盐水浓度一定介于原来两杯盐水的浓度之间。换句话说，如果其中一杯盐水的浓度是 a/b，另一杯盐水的浓度是 c/d，那么 (a+c)/(b+d) 一定介于 a/b 和 c/d 之间。

因此，(21a+34b)/(34a+55b) 就一定介于 21a/34a 和 34b/55b 之间。而 21a/34a = 21/34 ≈ 0.6176，34b/55b = 34/55 ≈ 0.6182，可见不管 a 和 b 是多少，(21a+34b)/(34a+55b) 都被夹在了 0.6176 和 0.6182 之间。如果 a 和 b 都不大，用 21a+34b 的值除以 0.618 来推测 34a+55b 是相当靠谱的。

有的读者可能已经发现了，0.618 不是别的数，正是神秘的黄金分割；而上表中出现的系数 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 正是传说中的斐波那契数列。算术中最富神秘色彩的两个概念在此交织，看来这个简单小魔术的来头并不简单啊。

xyz200902

谢谢楼主分享。